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100 多年來,為攀登數學研究的珠峰,數學家們做了哪些努力?

曾夢龍2019-09-19 13:31:07

這部精彩的作品就像一首純粹的詩歌。杜·索托伊對數學的滿腔熱情流露在字里行間。他贊美智慧,因其照亮了宇宙中最神秘的角落。——西蒙·溫徹斯特,英國作家

《悠揚的素數:二百年數學絕唱黎曼假設》

內容簡介

黎曼假設,即素數的未解謎題,被視為數學研究的“珠峰”,吸引了一代代數學家投身于數論研究中,其中不乏數學史上的名人。而破解這一謎題過程中的發現,已經給電子商務、量子力學和計算機科學等領域帶來了重要影響。本書作者以生動細膩的筆觸,將素數的故事娓娓道來。你也能近距離體會數學家的心路歷程,以及他們之間競爭與合作的復雜關系,從而對數學家這一群體有更深刻的了解。

作者簡介

馬庫斯?杜?索托伊(Marcus du Sautoy),牛津大學數學教授、西蒙義講座教授,英國工程暨物理研究委員會研究員,英國皇家學會研究員。他是 BBC 科普節目嘉賓、 TED 演講嘉賓,《泰晤士報》和《衛報》專欄作家,曾獲倫敦數學學會的貝維克獎、大英帝國官佐勛章。他的科普著作《神奇的數學:牛津教授給青少年的講座》深受讀者喜愛。

譯者簡介

柏華元,物理化學碩士,研究方向為計算化學,用數學描繪化學,用硅基來度量碳基的世界。

書籍摘錄

第 1 章 誰想成為百萬富翁(節選)

1900 年 8 月的某個早晨,空氣潮濕悶熱。在巴黎大學的一個擁擠的大廳里,第二屆國際數學家大會正如火如荼地進行著。來自哥廷根大學的大衛·希爾伯特教授正在臺上發表演講。他是當時公認的最偉大的數學家之一,其演講內容大膽、新奇。他要討論的不是那些已被證明的問題,而是一些尚未解決的問題。這與人們長久以來所接受的傳統觀念背道而馳。當他闡釋關于數學未來的觀點時,聽眾甚至能聽出他聲音中的忐忑不安。“我們當中有誰不想揭開未來的面紗,探索當今科學的下一步發展歷程,以及在未來幾百年的發展前景和奧秘呢?”為了迎接新世紀的到來,希爾伯特給觀眾列出了 23 道難題。他相信這些問題將為 20 世紀的人們在數學探索之路上指明方向。

隨后的幾十年間,人們見證了其中的多個問題得以解決,而發現問題答案的那群人組成了一個著名的數學家團隊,即“榮譽團體”。這個團體中包括庫爾特·哥德爾、亨利·龐加萊,以及其他許多用思想改變數學格局的人們。不過還有一個問題,也就是希爾伯特的第八問題,似乎將會安好地度過這個世紀而無人折桂,這就是黎曼假設。

在希爾伯特所設置的這些難題中,第八問題在他心中的地位非同一般。有一個德國神話和腓特烈一世有關,這位備受愛戴的德國國王死于第三次十字軍東征時期。有傳聞稱他依然活著,只是安睡于屈夫霍伊澤山脈,當德國人需要他的時候便會醒來。據說有人問過希爾伯特:“如果你能像腓特烈一世一樣復活,那么 500 年后,你想要做什么?”他答道:“我會問‘有沒有人證明了黎曼假設’。”

許多人將解決黎曼假設比喻成攀登珠穆朗瑪峰。無人攀登的時間越長,我們就越想征服它。最終攀登黎曼假設之峰的數學家,將會比埃德蒙·希拉里被人銘記的時間還要久。人們對于征服珠峰的贊美,不在于峰頂的景色是如何令人嘆為觀止,而在于克服登頂過程中所遇到的種種挑戰。從這個角度來看,證明黎曼假設和征服世界上最高的山峰意義有別。黎曼之峰是我們都想登頂的,因為我們都知道登頂之后展現在我們面前的風景。許多數學家都曾一廂情愿地認為黎曼假設成立,并據此提出了成千上萬個定理。而證明黎曼假設的人將有望成功填補這些定理所存在的缺陷。

如此之多的結果依賴于黎曼難題,這也是數學家們稱之為“假設”而非“猜想”的原因之所在。“假設”這個詞有更深刻的內涵,是數學家用于構建理論的必要設想。相反,“猜想”僅僅代表著對數學家所認為的世界運轉規律的一種預測。許多人不得不接受自己無法攻克黎曼謎題這一事實,并只是將他的預測作為一種可用性假設。如果有人可以將這一假設變為定理,那么所有那些還未被證明的結果都將得以驗證。

為黎曼假設所吸引的數學家們,希望有一天能夠通過證明黎曼假設為真而聲名遠播。一些人并不僅僅將其作為一種可用性假設,他們看得更遠。邦別里堅信,素數會如黎曼假設所預測的那樣有規律可循。這成為了人們追求數學真理的精神支柱。長久以來,人們都是憑直覺發現事物的運轉規律。然而,如果黎曼假設被證偽,那么將徹底摧毀我們這種信念。我們對黎曼假設的正確性如此深信不疑,以至于要想扭轉這一觀點的話,需要徹底改變我們的數學世界觀。而那些基于黎曼假設為真所生成的定理都將灰飛煙滅。

最重要的是,證明黎曼假設意味著數學家能夠通過有力的依據,快速確認 100 位素數,或者其他他們想要選擇的任意位素數。你可能會理直氣壯地反問:“這與我何干?”除非你是個數學家,否則黎曼假設證明與否,似乎對你的生活不會產生太大影響。

發現上百位的素數,這聽起來就像數針尖上跳舞的天使有多少個一樣無關緊要。盡管多數人認為數學的意義在于設計飛機或者發展電子技術,但是很少有人能夠想到,探索素數的深奧世界會給他們的生活帶來多大影響。的確,即使到了 20 世紀 40 年代,哈代也持相同觀點:“世間存在一種叫作數論的不食人間煙火的科學理論,高斯和少數數學家或許會為此興奮不已吧。”

但是,一個新的轉折點出現了。素數終于登上了殘酷的商業世界的舞臺中心。素數不再僅僅是數學界的明星。在 20 世紀 70 年代,三位科學家——羅納德·L. 李維斯特、阿迪·薩莫爾和倫納德·阿德曼——將素數的探索從象牙塔中單純的科研游戲,推廣到了重要的商業應用領域。通過研究皮埃爾·德·費馬在 17 世紀提出的定理,這三位科學家發現一種方法,讓人們在全世界的電商網站上購物時,可以利用素數來保護信用卡號碼的安全。這個概念首次問世于 20 世紀 70 年代,當時誰都沒想到電子商務會變得像今天一樣大受歡迎。如今若不借助素數的力量,網絡交易就無法進行。每當你在網上提交一份訂單時,計算機就利用一些上百位的素數來提供安全保障。這種技術稱作 RSA,得名于這三位發明者名字的首字母。到目前為止,已經有超過百萬個素數被用于保護電子商務交易。

對黎曼假設的證明在 20 世紀進入數學界的高潮期。希爾伯特直接向全世界的數學家發起挑戰,希望破解這一難題,由此揭開了這個世紀的序幕。在希爾伯特所列出的 23 道難題中,只有黎曼假設仍然是新世紀的未解之謎。

2000 年 5 月 24 日,為了紀念希爾伯特 23 問題提出 100 周年,數學家和出版界人士在法蘭西公學院匯聚一堂,聆聽七個新難題的宣布,以挑戰新千年的數學界。這些難題出自世界上最優秀的一小群數學家,包括安德魯·懷爾斯和阿蘭·孔涅。七大問題中除了希爾伯特列出的黎曼假設之外都是新問題。這些難題都附帶誘人的豐厚獎勵,以迎合 21 世紀衍生的價值觀。黎曼假設和其他六個難題的獎金,定為每道題 100 萬美元。如果精神贊譽不夠的話,物質獎勵也足以刺激到邦別里虛構的年輕物理學家們。

千禧年難題的主意是由波士頓的一個名叫蘭頓·T. 克雷的商人提出的,他以在行情看漲的股票市場交易公共基金來謀利。從哈佛大學數學專業輟學的他,對這一學科的熱情不減。他還想將這種熱情分享給更多人。他意識到,金錢對數學家來說可能并沒有什么激勵作用:“正是對真理的追求,對數學之美,對數學之力量以及對數學之優雅的回應,激勵著數學家們。”但是克雷也不簡單,作為一個商人,他知道如何用百萬美元激勵另一個安德魯·懷爾斯加入到解答這曠世難題的競爭中來。的確,克雷數學研究所的網站在發布千禧年難題后的第二天,因訪問量過大而崩潰了。

這七個千禧年難題,本質上和 20 世紀的 23 個難題大不相同。希爾伯特為 20 世紀的數學家安排好了新的日程表。許多難題都是剛剛起步,甚至意味著會顛覆許多人對該學科的認識。希爾伯特所列的 23 個難題并沒有像費馬大定理一樣,引導數學家關注單一的方向,而是激勵他們從更概念化的層面來思索問題。他也沒有撿拾數學勝景中的單塊石頭,而是為數學家們提供了俯瞰整個學科的視角,并激勵他們從宏觀角度考慮數學。這種新的方式很大程度上歸功于黎曼,早在 50 年前他就開始思索數學變革,將其從一門由公式和方程構成的學科,變成一門遍布概念和抽象理論的學科。

新千年的七個難題,其選擇標準更加保守。它們是數學難題藝術展中的透納作品。希爾伯特的問題則是現代派和前衛派合作的產物。新問題較為保守的部分原因在于,希望解決者給出的答案能夠得以充分證明,從而獲得百萬美元獎金。千禧年難題幾十年來都為數學家們所熟知,黎曼假設更是歷時百年。這些問題都很經典。

克雷的 700 萬美元并非首次為解決數學問題而發放的獎金。1997 年,懷爾斯就因證明了費馬大定理而摘取了保羅·沃爾夫斯凱爾在 1908 年設立的獎項,獲得 75 000 馬克。懷爾斯早在 10 歲時就對沃爾夫斯凱爾獎的故事有了深刻的印象。克雷相信,如果他也對黎曼假設如法炮制的話,那么這 100 萬美元就會有所回報。近期,英國的費伯出版社和美國的布魯姆斯伯里出版社為證明哥德巴赫猜想的人提供百萬美元的獎金,借此宣傳新書——阿波斯托洛斯·佐克西亞季斯的小說《遇見哥德巴赫猜想》。為了得到這筆錢,你得弄清楚,為什么每個合數都可以寫成兩個素數的乘積。然而,出版社并不會給你過多時間來破解此難題。只有在 2002 年 3 月 15 日前提供的答案才算數。這兩家出版社還很莫名其妙地規定,僅限美英兩國居民參加此次活動。

克雷認為,數學家們很少因為自己的工作而受到獎賞和認可。例如,令人向往和追求的諾貝爾獎沒有設立數學獎,取而代之的是菲爾茲獎,被視作數學界的至高榮譽。諾貝爾獎傾向于授予那些在各自的領域做出長期貢獻的科學家們,而菲爾茲獎的評選僅限于 40 歲以下的數學家。這并非是受固有觀念——數學家容易江郎才盡——的影響。約翰·菲爾茲,菲爾茲獎的創立者和獎金提供者,希望借此獎項激勵那些最富潛力的數學家去取得更偉大的成就。該獎項每四年在國際數學家大會上頒發一次。第一屆菲爾茲獎是于 1936 年在奧斯陸頒發的。

年齡是一道嚴格的門檻。盡管安德魯·懷爾斯在證明費馬大定理上取得了突出成就,但是菲爾茲獎委員會還是無法在 1998 年于柏林舉辦的國際數學家大會上授予他這一獎項。這是自他最后的證明被接受以來首次有機會被認可,可惜他生于 1953 年。他們鑄造了一個特別的獎牌,以紀念懷爾斯為此所做的貢獻,但是這和菲爾茲獎獲得者這一卓越稱號無法相提并論。獲獎者囊括了我們這場戲的許多重要角色:恩里科·邦別里、阿蘭·孔涅、阿特勒·賽爾伯格、保羅·科恩、亞歷山大·格羅騰迪克、艾倫·貝克、皮埃爾·德利涅。這些人幾乎摘取了五分之一的獎項。

但數學家并非是為了金錢而追逐這些獎項的。與諾貝爾獎提供的巨額獎金相比,菲爾茲獎提供的獎金不過 15 000 加元。因此,克雷頒發的百萬美元獎金足以和諾貝爾獎相匹敵。相比于菲爾茲獎,以及費伯出版社與布魯姆斯伯里出版社頒發的哥德巴赫猜想百萬美元大獎,贏得這筆獎金不受年齡和國籍限制,也沒有解題時間限制,唯一變化的只有匯率。

然而,促使數學家們破解千禧年難題的最大動力不是巨額獎金,而是數學帶給人的那種不朽而令人神往的力量。攻克一個千禧年難題,你就能獲得 100 萬美元。但是,相比于把你的名字鐫刻進探索智慧與文明的歷史長河中,這根本不值一提。黎曼假設、費馬大定理、哥德巴赫猜想、希爾伯特空間、歐幾里得算法、哈代 - 利特爾伍德圓法,傅里葉級數、哥德爾數、西格爾零點、賽爾伯格軌跡公式、埃拉托斯特尼篩法、梅森素數、歐拉積、高斯積分等發現,使那些在探索素數之路上做出了不朽貢獻的數學家名垂千古。即使我們有朝一日或許會忘記埃斯庫羅斯、歌德和莎士比亞這樣的名字,那些名字依舊永垂不朽。正如哈代所言:“語言會消亡,而數學思想卻不朽。‘不朽’或許聽起來虛無縹緲,但或許數學家最有發言權來解釋該詞的意義。”

那些在探索素數這一偉大征程中做出長久而不懈努力的數學家們,不僅僅是數學里程碑上所銘記的那些名字。素數的故事是一個個鮮活的人物的真實經歷。法國大革命的歷史人物和拿破侖的朋友們,紛紛向現代的魔術師和網絡公司讓步。來自印度的職員,兢兢業業執行任務的法國間諜,還有逃離第二次世界大戰(簡稱二戰)戰火的匈牙利裔猶太人,這三個人的命運都因探索素數的奧秘而交織在一起。所有這些人致力于提出獨特觀點的目的,就是希望自己的名字能留存在數學的歷史長河中。素數讓世界各地的數學家們走到了一起,中國、法國、希臘、美國、挪威、澳大利亞、俄羅斯、印度和德國等國都誕生過杰出的數學家。他們都會在每四年舉辦一次的國際數學家大會上講述自己的探索故事。

留名青史并非激勵數學家的唯一動力。就像希爾伯特敢于探索未知一樣,黎曼假設的證明也將開啟一段新旅程。當懷爾斯在宣布克雷獎的媒體發布會上做演講時,他強調問題的解決并不等于為此畫上了句號:

有一個嶄新的數學世界等待著我們去發現。想象一下 1600 年的歐洲人,他們知道大西洋的對岸是一片新世界。對于那些曾在建設美國的過程中做出貢獻的人們,應該給他們頒發什么獎項呢?不是飛機發明獎,不是計算機發明獎,不是芝加哥城市建設獎,也不是小麥收割機發明獎。雖然上述這些事物已成為美國人生活的一部分,但這些都是 1600 年的歐洲人所無法想象的。他們應該為解決經度問題的人頒發一個獎項。


黎曼假設就是數學界的“經度問題”。黎曼假設的解答能為人們探索數字海洋中的神秘水域提供線索。它也僅僅是我們探索自然之數字的一個開始。如果我們僅僅揭開的是如何尋找素數的秘密,那么前方是否又有更多秘密等著我們去發現呢?


題圖為電影《證明我愛你》劇照,來自:豆瓣

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